Wednesday, 18 January 2017
mail: info{at}45dimpatras.gr
Μεθοδολογία  στα  προβλήματα ποσοστών,  αύξησης,  μείωσης,  Φ.Π.Α.  τόκων.

Όλα  τα  προβλήματα  ποσοστών,  αύξησης,  μείωσης,  Φ.Π.Α.  τόκων  στηρίζονται  στο  εξής  απλό  πρόβλημα.

Πρόβλημα

Μας  δίνεται  ένας  αριθμός   ( π.χ.  το  12 )  και  ζητάμε  τα  3/4  αυτού  ( 12·3/4=9 ) που  είναι  ο  αριθμός  9  και   μένει  ο  αριθμός  3  ( π.χ. 12-3=9 ). Στο  πρόβλημα  αυτό  διακρίνουμε  4  τιμές:

1

2

3

4

Αρχική τιμή (Α.Τ)

Ποσοστό

Ποσό
(Μέρος)

Τελική τιμή (Τ.Τ)

12

3/4

9

3

Πρόβλημα 1.  ( Δίνεται  1,2.  Ζητείται  3,4. )

Ενός  αντικειμένου  η  τιμή  πώλησης   πριν την  έκπτωση  είναι  300€  και  έχει  έκπτωση  15%.  Ποία  είναι  η  τιμή  πώλησης. Λύση

Αρχική τιμή

Ποσοστό

Ποσό

Τελική τιμή

300€ 

15%=15/100

Χ

Ψ

Αφού  ζητώ  τα  15/100  του  300  πολλαπλασιάζω  300·15/100=45€. Άρα  η  έκπτωση  είναι  45€  Χ=45€  και  η  Τ.Τ.  Ψ=300-45=255€

Πρόβλημα 2.  ( Δίνεται  1,3.  Ζητείται  2,4. )

Ενός  αντικειμένου  η  τιμή  πώλησης   πριν την  έκπτωση  είναι  300€.  Η  έκπτωση  είναι  45€.  Να  βρεθεί  το  ποσοστό  της  έκπτωσης  και  η  τελική  τιμή.

Λύση

Αρχική τιμή

Ποσοστό

Ποσό

Τελική τιμή

300€ 

Χ

45

Ψ

Αν  Χ%  το  ποσοστό  έκπτωσης  αφού  πρέπει  να  βρούμε  τα  Χ%  του  300  πολλαπλασιάζω  300·Χ=45Χ=45:300=0,15=15/100=15%. Τ.Τ.= Α.Τ. - Μέρος= 300€ -45€ = 255€

Πρόβλημα 3.  ( Δίνεται  1,4.  Ζητείται  2,3. )

Ενός  αντικειμένου  η  τιμή  πώλησης   πριν την  έκπτωση  είναι  300€  και  μετά  την  εκπτωση   255€.  Να  βρεθεί  το  ποσοστό έκπτωσης  και  η  έκπτωση.

Λύση

Αρχική τιμή

Ποσοστό

Ποσό

Τελική τιμή

300€ 

Χ

Ψ

255€ 

Μέρος= Α.Τ. - Τ.Τ. = 300€ -225€ = 45€. είναι  γνωστό  το  Μέρος  και  συνεπώς  λύνεται  όπως  το  Πρόβλημα 2.

Πρόβλημα 4.  ( Δίνεται  3,4.  Ζητείται  1,2. )

 

Η  τιμή  ενός  αντικειμένου  μετά  την  έκπτωση  είναι  255€. και  η  έκπτωση  είναι  45€.  Ποίο  είναι  το  ποσοστό  της  έκπτωσης.

 

Λύση 

 

Αρχική τιμή

Ποσοστό

Ποσό

Τελική τιμή

Χ

Ψ

45€ 

255€ 

Α.Τ. = Μέρος + Τ.Τ. = 255€ + 45€  = 300€. Είναι  γνωστή  η  Α.Τ.  και  συνεπώς  λύνεται  όπως  το  Πρόβλημα 2.

Πρόβλημα 5.  ( Δίνεται  2,4.  Ζητείται  1,3. )

Η  τιμή  ενός  αντικειμένου  μετά  την  έκπτωση  είναι  255€ και  η  έκπτωση  είναι  15%. Να  βρεθεί  η  αρχική  τιμή  και  το  ποσό της έκπτωσης.

Λύση  

Αρχική τιμή

Ποσοστό

Ποσό

Τελική τιμή

Χ

15%

Ψ

255€ 

 

Eδώ  βλέπουμε  ότι  τα  85%  είναι  255€.  Άρα  κάνουμε  αναγωγή  στη  μονάδα  ή  διαίρεση.

1ος  Τρόπος.  Αναγωγή  στη  μονάδα.

τα  85/100  είναι  255€

το  1/100  είναι  255/85€

τα  100/100  είναι  100·255/85€=300€

2ος  Τρόπος.  Διαίρεση

Αν  Χ  η  Α.Τ.  αφού  τα  85/100  του  Χ  είναι  255€  τότε  Χ·85/100 =255  και
Χ = 255:85/100 = 255·100/85 = 300€

Πρόβλημα 6.  ( Δίνεται  2,3.  Ζητείται  1,4. )

Αν  το  ποσοστό  έκπτωσης  είναι  15%και  η  έκπτωση  45€.  Να  βρεθεί  η  Α.Τ.  και  η  Τ.Τ.

Λύση

Αρχική τιμή

Ποσοστό

Ποσό

Τελική τιμή

Χ

15%

45€ 

Ψ

Eδώ  βλέπουμε  ότι  τα  15%  είναι  45€  Άρα  κάνουμε  αναγωγή  στη  μονάδα  ή  διαίρεση.

1ος  Τρόπος.  Αναγωγή  στη  μονάδα.

τα  15/100  είναι  45€

το  1/100  είναι 45/15€

τα  85/100  είναι  85·45/15€=255€

τα  100/100  είναι  100·45/15€=300€ 

2ος  Τρόπος.  Διαίρεση   

Αν  Χ  η  Α.Τ.  αφού  τα  15/100  του  Χ  είναι  45€  τότε  Χ·45/100 =45  και
Χ = 45:15/100 = 45·100/15 = 300  και
Τ.Τ.= Α.Τ. - ΜΕΡΟΣ= 300€ -45€ = 255€ 

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ.  Η  άσκηση  που  πρέπει  να  ξέρουμε  είναι μια  με τέσσερις  όψειςτα  Προβλήματα 1, 2, 4, 5.


Τα  προβλήματα  αύξησης,  Φ.Π.Α.  τόκων  λύνονται  με  τον  ίδιο  τρόπο,  με  τηνδιαφορά  όπου  κάνουμε  αφαίρεση  θα  κάνουμε  πρόσθεση.  Π.Χ.

Πρόβλημα  ( Δίνεται  1,2.  Ζητείται  3,4. )

Πόσα  χρήματα  θα  πάρουμε  αν  καταθέσουμε100.000€  με  επιτόκιο  4%  σε  ένα  χρόνο.

Λύση

Αρχική τιμή

Ποσοστό

Ποσό

Τελική τιμή

100.000€

4%

Χ

Ψ

Λύνεται  όπως  το  Πρόβλημα 1.

Πρόβλημα  ( Δίνεται  2,3.  Ζητείται  1,4. )

Αν  για  την  αγορά  μίας  κολόνιας  πληρώσαμεΦ.Π.Α.  18%  και  δώσαμε  54€.  Πόσο  έκανε  η  κολόνια  χωρίς  το  Φ.Π.Α.  και  πόσο  μαζί.

 

Λύση  

 

Αρχική τιμή

Ποσοστό

Ποσό

Τελική τιμή

Χ

18%

54

Ψ

Λύνεται  όπως  το  Πρόβλημα 6.

Eδώ  βλέπουμε  ότι  τα  18%  είναι  54€.  Άρα  κάνουμε  αναγωγή  στη  μονάδα  ή  διαίρεση.

1ος  Τρόπος.  Αναγωγή  στη  μονάδα.

τα  18/100  είναι  54€

το  1/100  είναι 54/18€

τα  100/100  είναι  100·54/18€=300€

τα  118/100  είναι  118·54/18€=354€      


Επιμέλεια:
Ζαχαρίας Σκαφίδας, Χαράλαμπος Αντωνόπουλος
Μαθηματικοί